Analysis Beispiele

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(6 x - 5)}^{2}$ als $(6 x - 5) (6 x - 5)$ um.

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(6 x - 5) (6 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $30 x$ von $- 30 x$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 60 x + 25) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 36 x^{2} - 60 x + 25$ und $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 - x^{5}$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x^{5}$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x^{5}$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $36 x^{2} - 60 x + 25$ .

$2 \cdot (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (5 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Schritt 3.6.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 x^{2} - 60 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.10

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.12

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.13

Da $- 60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60 x$ nach $x$ gleich $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.15

Mutltipliziere $- 60$ mit $1$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 3.6.16

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

Schritt 3.6.17

Addiere $72 x - 60$ und $0$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 10 (36 x^{2}) - 10 (- 60 x) - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $36$ mit $- 10$ .

$(- 360 x^{2} - 10 (- 60 x) - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $- 60$ mit $- 10$ .

$(- 360 x^{2} + 600 x - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $25$ .

$(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere $3 - x^{5}$ aus $(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$ heraus.

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Schritt 3.7.5.1

Faktorisiere $3 - x^{5}$ aus $(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4}$ heraus.

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Schritt 3.7.5.2

Faktorisiere $3 - x^{5}$ aus ${(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$ heraus.

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + (3 - x^{5}) ((3 - x^{5}) (72 x - 60))$

Schritt 3.7.5.3

Faktorisiere $3 - x^{5}$ aus $(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + (3 - x^{5}) ((3 - x^{5}) (72 x - 60))$ heraus.

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60))$

Schritt 3.7.6

Stelle die Faktoren von $(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60))$ um.

$((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$