Analysis Beispiele

$y = \frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 3 x$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 7$ .

$\frac{- 3 \cdot (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $- 3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 - 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 3.3.6.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.1.2

Schreibe $- 2$ um als $7$ plus $- 9$

$\frac{3 x^{2} + (7 - 9) x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 7 x) - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x + 7) - 3 (3 x + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 7$ .

$\frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$