Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $x^{- \frac{5}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- - \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.7.3.2

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.7.3.3

Bringe $x^{- \frac{5}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot 0$

Schritt 4.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ mit $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + 0$

Schritt 4.9.2

Addiere $\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$