Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}}$ als ${({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{7 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{- 7}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 7}$ und $g (x) = 2 x + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 5$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 + 0)$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} \cdot 2$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$- 14 {(2 x + 5)}^{- 8}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 14$ und $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$