Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3} - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x) - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$