Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3} + 5}{(5 x + 3) (3 x + 5)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} + 5}{(5 x + 3) (3 x + 5)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} + 5$ und $g (x) = (5 x + 3) (3 x + 5)$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5] - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [(5 x + 3) (3 x + 5)]}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [(5 x + 3) (3 x + 5)]}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [(5 x + 3) (3 x + 5)]}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [(5 x + 3) (3 x + 5)]}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [(5 x + 3) (3 x + 5)]}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x + 3$ und $g (x) = 3 x + 5$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5] + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) (3 + 0) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) ((5 x + 3) \cdot 3 + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 \cdot (5 x + 3) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [5 x + 3])}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + (3 x + 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + (3 x + 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + (3 x + 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + (3 x + 5) (5 + \frac{d}{d x} [3]))}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + (3 x + 5) (5 + 0))}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.12.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + (3 x + 5) \cdot 5)}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.4.12.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $3 x + 5$ .

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + 5 \cdot (3 x + 5))}{{((5 x + 3) (3 x + 5))}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende die Produktregel auf $(5 x + 3) (3 x + 5)$ an.

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) - (x^{3} + 5) (3 (5 x + 3) + 5 (3 x + 5))}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x + 3) + 5 (3 x + 5))}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x + 5))}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 x + 3) (3 x + 5) (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 (5 x + 3) (3 x + 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (5 x) + 3 \cdot 3) (3 x + 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{(15 x + 3 \cdot 3) (3 x + 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(15 x + 9) (3 x + 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.5

Multipliziere $(15 x + 9) (3 x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(15 x (3 x + 5) + 9 (3 x + 5)) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(15 x (3 x) + 15 x \cdot 5 + 9 (3 x + 5)) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(15 x (3 x) + 15 x \cdot 5 + 9 (3 x) + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.5.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(15 \cdot 3 x \cdot x + 15 x \cdot 5 + 9 (3 x) + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{(15 \cdot 3 (x \cdot x) + 15 x \cdot 5 + 9 (3 x) + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(15 \cdot 3 x^{2} + 15 x \cdot 5 + 9 (3 x) + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$\frac{(45 x^{2} + 15 x \cdot 5 + 9 (3 x) + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$\frac{(45 x^{2} + 75 x + 9 (3 x) + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{(45 x^{2} + 75 x + 27 x + 9 \cdot 5) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{(45 x^{2} + 75 x + 27 x + 45) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.6.2

Addiere $75 x$ und $27 x$ .

$\frac{(45 x^{2} + 102 x + 45) x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 x^{2} x^{2} + 102 x \cdot x^{2} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1.8.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1.8.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{45 (x^{2} x^{2}) + 102 x \cdot x^{2} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 x^{2 + 2} + 102 x \cdot x^{2} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x \cdot x^{2} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1.8.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 (x^{2} x) + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.5.5.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 (x^{2} x^{1}) + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{2 + 1} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.8.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 1 \cdot 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (3 (5 x) + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.5.1.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (15 x + 3 \cdot 3 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (15 x + 9 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.10.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (15 x + 9 + 15 x + 5 \cdot 5)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.10.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (15 x + 9 + 15 x + 25)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.11

Addiere $15 x$ und $15 x$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (30 x + 9 + 25)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.12

Addiere $9$ und $25$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} + (- x^{3} - 5) (30 x + 34)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.13

Multipliziere $(- x^{3} - 5) (30 x + 34)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.5.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - x^{3} (30 x + 34) - 5 (30 x + 34)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - x^{3} (30 x) - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x + 34)}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - x^{3} (30 x) - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.5.1.14.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 1 \cdot 30 x^{3} x - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1.14.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 1 \cdot 30 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.5.5.1.14.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 1 \cdot 30 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 1 \cdot 30 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 1 \cdot 30 x^{4} - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 30 x^{4} - x^{3} \cdot 34 - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.4

Mutltipliziere $34$ mit $- 1$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 30 x^{4} - 34 x^{3} - 5 (30 x) - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.5

Mutltipliziere $30$ mit $- 5$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 30 x^{4} - 34 x^{3} - 150 x - 5 \cdot 34}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.1.14.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $34$ .

$\frac{45 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 30 x^{4} - 34 x^{3} - 150 x - 170}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.2

Subtrahiere $30 x^{4}$ von $45 x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4} + 102 x^{3} + 45 x^{2} - 34 x^{3} - 150 x - 170}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.5.3

Subtrahiere $34 x^{3}$ von $102 x^{3}$ .

$\frac{15 x^{4} + 68 x^{3} + 45 x^{2} - 150 x - 170}{{(5 x + 3)}^{2} {(3 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.6

Stelle die Terme um.

$\frac{15 x^{4} + 68 x^{3} + 45 x^{2} - 150 x - 170}{{(3 x + 5)}^{2} {(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{15 x^{4} + 68 x^{3} + 45 x^{2} - 150 x - 170}{{(3 x + 5)}^{2} {(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{4} + 68 x^{3} + 45 x^{2} - 150 x - 170}{{(3 x + 5)}^{2} {(5 x + 3)}^{2}}$