Analysis Beispiele

$y = (x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ und $g (x) = e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{3}}] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{5 x}{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{5 x}{3}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5 x}{3}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $x^{2} - 3 x + 3$ mit $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + 0)$

Schritt 3.3.11

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $3$ .

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Schritt 3.4.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})$ heraus.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 (1)} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 \cdot 1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})}{1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.5.2.4

Dividiere $x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.6

Kombiniere $3$ und $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 3.4.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $15 e^{\frac{5 x}{3}}$ heraus.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 (1)} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.8.2.4

Dividiere $5 e^{\frac{5 x}{3}}$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.9

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) - 3 \cdot e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.3.10

Bewege $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.3.11

Addiere $- 5 x e^{\frac{5 x}{3}}$ und $2 x e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.3.12

Subtrahiere $3 e^{\frac{5 x}{3}}$ von $5 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1.1

Forme um.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.5.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 3.4.6

Stelle die Faktoren in $\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$ um.

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$