Analysis Beispiele

$y = {(x^{2} - 3 y)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 3 y)}^{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 3 y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 3 y$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Schritt 3.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$ .

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Schritt 5.1.1

Schreibe ${(x^{2} - 3 y)}^{2}$ als $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ um.

$y' = 3 ((x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 3 (x^{2} (x^{2} - 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = 3 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y' = 3 (x^{4} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y \cdot y) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 (y \cdot y)) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.2

Subtrahiere $3 y x^{2}$ von $- 3 x^{2} y$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.3.2.2

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von $- 3 x^{2} y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 6 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = (3 x^{4} + 3 (- 6 x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Schritt 5.1.6

Multipliziere $(3 x^{4} - 18 x^{2} y + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y' = 3 x^{4} (2 x) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 3 \cdot 2 x^{4} x + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x \cdot x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 5.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x^{1} x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = 3 \cdot 2 x^{1 + 4} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y' = 3 \cdot 2 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y' = 6 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 6 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.7.6.1

Bewege $x$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x \cdot x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.7.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x^{1} x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{1 + 2} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{3} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 \cdot 2 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.10

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Schritt 5.1.7.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 \cdot - 3 y^{2} y'$

Schritt 5.1.7.12

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' = y'$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = 0$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $6 x^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5}$

Schritt 5.4.2

Addiere $36 x^{3} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $54 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 x^{4} y'$ heraus.

$y' (- 9 x^{4}) + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $54 x^{2} y y'$ heraus.

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 81 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y)$ heraus.

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2})$ heraus.

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.5.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ durch $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ durch $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.6.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.6.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.3.2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ heraus.

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Schritt 5.6.3.2.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $36 x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $- 54 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.1.4

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.1.5

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.6.3.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 5.6.3.2.2.1.1

Stelle die Terme um.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} - 9 y^{2} + 6 x^{2} y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.1.2

Stelle $- 9 y^{2}$ und $6 x^{2} y$ um.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.1.4

Schreibe $6$ um als $3$ plus $3$

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + (3 + 3) (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 (x^{2} y) + 3 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.1.6

Versetze die Klammern.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.6.3.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' = \frac{6 x ((- x^{4} + 3 x^{2} y) + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' = \frac{6 x (x^{2} (- x^{2} + 3 y) - 3 y (- x^{2} + 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x^{2} + 3 y$ .

$y' = \frac{6 x ((- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

$y' = \frac{6 x (- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.6.3.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) - (- 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{6 x (- (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.4

Schreibe $- (x^{2} - 3 y)$ als $- 1 (x^{2} - 3 y)$ um.

$y' = \frac{6 x (- 1 (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.5

Potenziere $x^{2} - 3 y$ mit $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.6

Potenziere $x^{2} - 3 y$ mit $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} {(x^{2} - 3 y)}^{1})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{1 + 1}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.6.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x^{4}$ heraus.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $54 x^{2} y$ heraus.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y)$ heraus.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Schritt 5.6.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 81 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2}) - 1}$

Schritt 5.6.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2})$ heraus.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1}$

Schritt 5.6.3.3.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)}$

Schritt 5.6.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Schritt 5.6.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.3.3.9.1

Schreibe $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ als $- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ um.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Schritt 5.6.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Schritt 5.6.3.3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Schritt 5.6.3.3.9.4

Mutltipliziere $\frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$ mit $1$ .

$y' = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$