Analysis Beispiele

$v (y) = x - \frac{3}{95} x^{3}$

Schritt 1

Multipliziere $y'$ mit $y$ .

$y' y = x - \frac{3}{95} x^{3}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y' y) = \frac{d}{d x} (x - \frac{3}{95} x^{3})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $y'$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y' y$ nach $x$ gleich $y' \frac{d}{d x} [y]$ .

$y' \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{3}{95} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{95} x^{3}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- \frac{3}{95}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{95} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{95} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 - \frac{3}{95} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 - \frac{3}{95} (3 x^{2})$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 - 3 (\frac{3}{95}) x^{2}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{95}$ .

$1 + \frac{- 3 \cdot 3}{95} x^{2}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$1 + \frac{- 9}{95} x^{2}$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $\frac{- 9}{95}$ und $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 9 x^{2}}{95}$

Schritt 4.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{9 x^{2}}{95}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{9 x^{2}}{95} + 1$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' y' = - \frac{9 x^{2}}{95} + 1$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y'$ mit $y'$ .

${y'}^{2} = - \frac{9 x^{2}}{95} + 1$

Schritt 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y' = \pm \sqrt{- \frac{9 x^{2}}{95} + 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{9 x^{2}}{95} + 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = \pm \sqrt{- \frac{9 x^{2}}{95} + \frac{95}{95}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \pm \sqrt{\frac{- 9 x^{2} + 95}{95}}$

Schritt 6.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{- 9 x^{2} + 95}{95}}$ als $\frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$ um.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$ mit $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}} \cdot \frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$

Schritt 6.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95}}{\sqrt{95}}$ mit $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Schritt 6.3.5.2

Potenziere $\sqrt{95}$ mit $1$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1} \sqrt{95}}$

Schritt 6.3.5.3

Potenziere $\sqrt{95}$ mit $1$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1} {\sqrt{95}}^{1}}$

Schritt 6.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{2}}$

Schritt 6.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{95}}^{2}$ als $95$ um.

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Schritt 6.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{95}$ als $95^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{{(95^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95^{1}}$

Schritt 6.3.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$y' = \pm \frac{\sqrt{- 9 x^{2} + 95} \sqrt{95}}{95}$

Schritt 6.3.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y' = \pm \frac{\sqrt{(- 9 x^{2} + 95) \cdot 95}}{95}$

Schritt 6.3.7

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- 9 x^{2} + 95) \cdot 95}}{95}$ um.

$y' = \pm \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Schritt 6.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y' = \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Schritt 6.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y' = - \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Schritt 6.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y' = \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}, - \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}, - \frac{\sqrt{95 (- 9 x^{2} + 95)}}{95}$