Analysis Beispiele

$\ln (4 y) = 5 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (4 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 y$ .

$\frac{1}{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 y}$ .

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$5 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x y' + 5 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} = 5 x y' + 5 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (5 x y' + 5 y) y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(5 x y' + 5 y) y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 5 x y' y + 5 y \cdot y$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bewege $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 (y \cdot y)$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Bewege $x$ .

$y' = 5 y' x y + 5 y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $5 y' x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' - 5 y' x y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y' x y$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 5 x y) = 5 y^{2}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- 5 x y)$ heraus.

$y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ durch $1 - 5 x y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ durch $1 - 5 x y$ .

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 5 x y$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$