Analysis Beispiele

$x = 6 {(3 y - 8)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (6 {(3 y - 8)}^{4})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{d}{d x} [6 ({(3 y)}^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$\frac{d}{d x} [6 (3^{4} y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (3^{3} y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (27 y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 108 y^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $108$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.7

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (3^{2} y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (9 y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.10

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} \cdot 64 + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.11

Mutltipliziere $64$ mit $54$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.12

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.13

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y \cdot - 512 + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.14

Mutltipliziere $- 512$ mit $12$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + {(- 8)}^{4})]$

Schritt 3.2.1.15

Potenziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)]$

Schritt 3.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$ .

$6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.2.4

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81 y^{4}$ nach $x$ gleich $81 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$6 (81 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$6 (81 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$6 (81 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$6 (81 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$6 (324 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (324 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.6

Da $- 864$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 864 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 864 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 864$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.10

Da $3456$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3456 y^{2}$ nach $x$ gleich $3456 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.11.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $2$ mit $3456$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.14

Da $- 6144$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6144 y$ nach $x$ gleich $- 6144 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.15

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + \frac{d}{d x} [4096])$

Schritt 3.16

Da $4096$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4096$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + 0)$

Schritt 3.17

Addiere $324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y'$ und $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y')$

Schritt 3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (324 y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Schritt 3.18.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.18.2.1

Mutltipliziere $324$ mit $6$ .

$1944 (y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Schritt 3.18.2.2

Mutltipliziere $- 2592$ mit $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 (y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Schritt 3.18.2.3

Mutltipliziere $6912$ mit $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 (y y') + 6 (- 6144 y')$

Schritt 3.18.2.4

Mutltipliziere $- 6144$ mit $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$ um.

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $72 y'$ aus $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $72 y'$ aus $1944 y^{3} y'$ heraus.

$72 y' (27 y^{3}) - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $72 y'$ aus $- 15552 y^{2} y'$ heraus.

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $72 y'$ aus $41472 y y'$ heraus.

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) - 36864 y' = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $72 y'$ aus $- 36864 y'$ heraus.

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $72 y'$ aus $72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2})$ heraus.

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $72 y'$ aus $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y)$ heraus.

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Schritt 5.2.7

Faktorisiere $72 y'$ aus $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512$ heraus.

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ durch $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ durch $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ .

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $72$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$