Analysis Beispiele

$e^{4 y} + x = 8 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{4 y} + x) = \frac{d}{d x} (8 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{4 y} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{4 y}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 y}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{4 y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 y$ .

$e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{4 y} (4 y') + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 y} (4 y') + 1$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$4 e^{4 y} y' + 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 e^{4 y} y' + 1 = 8 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $4 e^{4 y} y' + 1$ um.

$4 y' e^{4 y} + 1 = 8 y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $8 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y' e^{4 y} + 1 - 8 y' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y' e^{4 y} - 8 y' = - 1$

Schritt 5.4

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' e^{4 y} - 8 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' e^{4 y}$ heraus.

$4 y' e^{4 y} - 8 y' = - 1$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 8 y'$ heraus.

$4 y' e^{4 y} + 4 y' \cdot - 2 = - 1$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' e^{4 y} + 4 y' \cdot - 2$ heraus.

$4 y' (e^{4 y} - 2) = - 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (e^{4 y} - 2) = - 1$ durch $4 (e^{4 y} - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (e^{4 y} - 2) = - 1$ durch $4 (e^{4 y} - 2)$ .

$\frac{4 y' (e^{4 y} - 2)}{4 (e^{4 y} - 2)} = \frac{- 1}{4 (e^{4 y} - 2)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y' (e^{4 y} - 2)}{4 (e^{4 y} - 2)} = \frac{- 1}{4 (e^{4 y} - 2)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (e^{4 y} - 2)}{e^{4 y} - 2} = \frac{- 1}{4 (e^{4 y} - 2)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 y} - 2$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{4 y} - 2)}{e^{4 y} - 2} = \frac{- 1}{4 (e^{4 y} - 2)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{4 (e^{4 y} - 2)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{4 (e^{4 y} - 2)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 (e^{4 y} - 2)}$