Analysis Beispiele

$x \cos (x y) = x + y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x (- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \cdot 1$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\cos (x y)$ mit $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y)$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \sin (x y) (x y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Schritt 2.9.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.9.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Schritt 2.9.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Schritt 2.9.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Schritt 2.9.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Schritt 2.9.4

Stelle die Terme um.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$ um.

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $x y \sin (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y' \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y)$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $\cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y' \sin (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y' \sin (x y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y' \sin (x y)$ heraus.

$y' (- x^{2} \sin (x y)) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ durch $- x^{2} \sin (x y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ durch $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \sin (x y)$ heraus.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1}$

Schritt 5.5.3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)}$

Schritt 5.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Schritt 5.5.3.7

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.7.1

Schreibe $- (x^{2} \sin (x y) + 1)$ als $- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)$ um.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Schritt 5.5.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$