Analysis Beispiele

$x y + 5 x + 4 x^{2} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y + 5 x + 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + 5 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x y' + y + 5 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x y' + y + 5 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x y' + y + 5 + 4 (2 x)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x y' + y + 5 + 8 x$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$x y' + 8 x + y + 5$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 8 x + y + 5 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y + 5 = - 8 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 5 = - 8 x - y$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = - 8 x - y - 5$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 8 x - y - 5$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 8 x - y - 5$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 8 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 5}{x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 8 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 5}{x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 5}{x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 8 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 5}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$y' = - 8 + \frac{- y}{x} + \frac{- 5}{x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - 8 - \frac{y}{x} + \frac{- 5}{x}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - 8 - \frac{y}{x} - \frac{5}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 8 - \frac{y}{x} - \frac{5}{x}$