Analysis Beispiele

$7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2} = 40$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2}) = \frac{d}{d x} (40)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(y^{2} + 1)}^{2}$ als $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1]$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1]$

Schritt 2.3.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 {(x^{2} + 1)}^{6}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + 1$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$7 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + 1$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$7 (12 {(x^{2} + 1)}^{5} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.8

Mutltipliziere $12$ mit $7$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Schritt 2.6.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.6.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.6.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.6.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 2.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + 0$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Addiere $84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$ und $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Schritt 2.9.2

Stelle die Terme um.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Schritt 3

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} y' + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y^{3} y' + 4 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$4 y y' y^{2} + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y y'$ heraus.

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1 = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1$ heraus.

$4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ durch $4 y (y^{2} + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ durch $4 y (y^{2} + 1)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 84$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y (y^{2} + 1)$ heraus.

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$