Analysis Beispiele

$- \csc (y) = 3 x - 9 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- \csc (y)) = \frac{d}{d x} (3 x - 9 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc (y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc (y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc (y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\csc (u)$ nach $u$ ist $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (- \csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\csc (y)$ mit $1$ .

$\csc (y) (\cot (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\csc (y) \cot (y) y'$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $\csc (y) \cot (y) y'$ um.

$\cot (y) \csc (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 y$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 - 9 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cot (y) \csc (y) y' = 3 - 9 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $\cot (y) \csc (y) y'$ um.

$y' \cot (y) \csc (y) = 3 - 9 y'$

Schritt 5.2

Addiere $9 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cot (y) \csc (y) + 9 y' = 3$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cot (y) \csc (y) + 9 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cot (y) \csc (y)$ heraus.

$y' (\cot (y) \csc (y)) + 9 y' = 3$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $9 y'$ heraus.

$y' (\cot (y) \csc (y)) + y' \cdot 9 = 3$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cot (y) \csc (y)) + y' \cdot 9$ heraus.

$y' (\cot (y) \csc (y) + 9) = 3$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cot (y) \csc (y) + 9) = 3$ durch $\cot (y) \csc (y) + 9$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cot (y) \csc (y) + 9) = 3$ durch $\cot (y) \csc (y) + 9$ .

$\frac{y' (\cot (y) \csc (y) + 9)}{\cot (y) \csc (y) + 9} = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot (y) \csc (y) + 9$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cot (y) \csc (y) + 9)}{\cot (y) \csc (y) + 9} = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$