Analysis Beispiele

$\cos (x + y) = y \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y \sin (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

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Schritt 5.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 5.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ um.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $y \cos (x) + \sin (x) y'$ um.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + y' \sin (x)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y' \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x)$

Schritt 5.4

Addiere $\sin (x + y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (x + y) - y' \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (x + y)$ heraus.

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (x)$ heraus.

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x))$ heraus.

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \sin (x + y)$ als $- \sin (x + y)$ um.

$y' (- \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Schritt 5.7

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ durch $- \sin (x + y) - \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ durch $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x + y) - \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.8.3.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x + y)$ heraus.

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ heraus.

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x + y) - \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.8.3.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x + y)$ heraus.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))}$

Schritt 5.8.3.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ heraus.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))}$

Schritt 5.8.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.8.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y \cos (x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x + y)$ heraus.

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))$ heraus.

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.8.3.2.5.1

Schreibe $- (y \cos (x) + \sin (x + y))$ als $- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))$ um.

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 5.8.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$