Analysis Beispiele

$\arctan (x^{2} y) = x y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{2} y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Schritt 2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Schritt 2.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Schritt 2.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ um.

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $x^{2} y' + 2 y x$ mit $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} y' + 2 y x$ heraus.

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.6.5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 y x$ heraus.

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.6.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x y') + x (2 y)$ heraus.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + x^{4} y^{2}$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{4} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.5

Stelle $x^{2}$ und $y'$ um.

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} (1 + x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y'$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y'$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y'$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.2.2.1

Stelle $y^{4}$ und $x^{4}$ um.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Schritt 5.2.2.1.2.2.2

Bewege $y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Schritt 5.2.2.1.2.2.3

Bewege $x$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Schritt 5.2.2.1.2.2.4

Bewege $y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.5

Bewege $x^{5}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.6

Bewege $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.7

Bewege $2 y' x y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.8

Stelle $x^{4} y^{4}$ und $2 y' x^{5} y^{3}$ um.

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} = y' x^{2} + 2 x y$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y' x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y$

Schritt 5.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $x^{4} y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y' x$ aus $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $y' x$ aus $2 y' x^{5} y^{3}$ heraus.

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $y' x$ aus $2 y' x y$ heraus.

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $y' x$ aus $- y' x^{2}$ heraus.

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.4.4

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ heraus.

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.4.5

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ heraus.

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Schritt 5.3.6

Teile jeden Ausdruck in $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ durch $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ durch $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ .

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ .

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Schritt 5.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.6.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{4} y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.6.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y - x^{3} y^{4}$ heraus.

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Schritt 5.3.6.3.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- x^{3} y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.3

Um $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.6.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ um.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.6.3.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y (2 - x^{3} y^{3}) x$ heraus.

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)$ heraus.

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.6.3.6.3.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.6.3.6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$