Analysis Beispiele

$\arctan (2 x^{2} y) = x + 4 x y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\arctan (2 x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x + 4 x y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x^{2} y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(2 (x^{2} y))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 (x^{2} y)$ an.

$\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2} y])$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$\frac{2}{1 + 4 ({(x^{2})}^{2} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

Schritt 2.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{1 + 4 (x^{2 \cdot 2} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

Schritt 2.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 (x^{4} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

$\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Schritt 2.7.3

Stelle die Faktoren von $\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ um.

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $x^{2} y' + 2 y x$ mit $\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} y' + 2 y x) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} y' + 2 y x$ heraus.

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Schritt 2.7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$\frac{(x (x y') + 2 y x) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.7.5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 y x$ heraus.

$\frac{(x (x y') + x (2 y)) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.7.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x y') + x (2 y)$ heraus.

$\frac{x (x y' + 2 y) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Schritt 2.7.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x (x y' + 2 y)$ .

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 x y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$1 + 4 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$1 + 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + 4 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$1 + 4 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + 4 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + 4 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 + 4 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$1 + 4 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 4 (2 x y y') + 4 y^{2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$1 + 8 x y y' + 4 y^{2}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$4 y^{2} + 8 x y y' + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} = 4 y^{2} + 8 x y y' + 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 4 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2}) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 4 x^{4} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2}) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x (x y' + 2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x y') + 2 x (2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) y' + 2 x (2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} y' + 2 x (2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} y' + 2 \cdot 2 x y = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 x y = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.6

Bewege $x^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} \cdot 1 + 4 y^{2} (4 x^{4} y^{2}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 y^{2} (4 x^{4} y^{2}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 (y^{2} y^{2}) (4 x^{4}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 y^{2 + 2} (4 x^{4}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 y^{4} (4 x^{4}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 \cdot 4 y^{4} x^{4} + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.6.1

Bewege $x^{4}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 (x^{4} x) y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 (x^{4} x^{1}) y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{4 + 1} y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6.3

Addiere $4$ und $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} (y^{2} y) y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} y^{2 + 1} y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} y^{3} y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.9

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.1.10

Mutltipliziere $4 x^{4} y^{2}$ mit $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.2.2.1

Bewege $y^{4}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.2

Bewege $y$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 x y' y + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.3

Bewege $x$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.4

Bewege $y^{3}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 x^{5} y' y^{3} + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.5

Bewege $x^{5}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 y' x^{5} y^{3} + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.6

Bewege $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 1$

Schritt 5.2.2.1.2.2.7

Bewege $4 y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 4 y^{2} + 1$

Schritt 5.2.2.1.2.2.8

Bewege $8 y' x y$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 16 x^{4} y^{4} + 32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1$

Schritt 5.2.2.1.2.2.9

Stelle $16 x^{4} y^{4}$ und $32 y' x^{5} y^{3}$ um.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 32 y' x^{5} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$32 y' x^{5} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 = 2 y' x^{2} + 4 x y$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 y' x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 y' x^{5} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y$

Schritt 5.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $16 x^{4} y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $4 x^{4} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.3.3.3

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $2 y' x$ aus $32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y - 2 y' x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2 y' x$ aus $32 y' x^{5} y^{3}$ heraus.

$2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 8 y' x y - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $2 y' x$ aus $8 y' x y$ heraus.

$2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (4 y) - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $2 y' x$ aus $- 2 y' x^{2}$ heraus.

$2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (4 y) + 2 y' x (- 1 x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.4.4

Faktorisiere $2 y' x$ aus $2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (4 y)$ heraus.

$2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y) + 2 y' x (- 1 x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.4.5

Faktorisiere $2 y' x$ aus $2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y) + 2 y' x (- 1 x)$ heraus.

$2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - 1 x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Schritt 5.3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$ durch $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$ durch $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ .

$\frac{2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16 x^{4} y^{3} + 4 y - x$ .

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Schritt 5.3.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x y$ heraus.

$y' = \frac{2 (2 x y)}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ heraus.

$y' = \frac{2 (2 x y)}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x y}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16 x^{4} y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 8 x^{4} y^{4})}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 8 x^{4} y^{4})}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 8 x^{4} y^{4}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x^{4} y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{x (- 8 x^{3} y^{4})}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{4} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 x^{4} y^{2})}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 x^{4} y^{2})}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 2 x^{4} y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{4} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{x (- 2 x^{3} y^{2})}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.6.3.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.3.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.6.3.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y - 8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y - 8 x^{3} y^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.2.2.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 y (1) - 8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.2.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 8 x^{3} y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{2 y (1) + 2 y (- 4 x^{3} y^{3})}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.2.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (1) + 2 y (- 4 x^{3} y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3})}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) - 2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.4

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) - 2 x^{3} y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.6.3.2.4.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 x^{3} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) + 2 y (- x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.2.4.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) + 2 y (- x^{3} y)$ heraus.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.3

Um $\frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{(16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) x$ um.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - 2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.3.6.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - 2 y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.6.3.6.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x$ heraus.

$y' = \frac{2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) - 2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + 2 y (- y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + 2 y (- y)$ heraus.

$y' = \frac{2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{2 y (1 x - 4 x^{3} y^{3} x - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.6.3.6.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{3} y^{3} x - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.6.3.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 (x \cdot x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.6.3.6.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 (x^{1} x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{1 + 3} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.6.3.6.3.3.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - (x \cdot x^{3}) y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.6.3.6.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - (x^{1} x^{3}) y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{1 + 3} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.6.3.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.7

Um $\frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.6.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) \cdot 2}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) \cdot 2} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.8.2

Stelle die Faktoren von $x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) \cdot 2$ um.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) \cdot 2}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{(2 y x + 2 y (- 4 x^{4} y^{3}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.6.3.10.2.1

Multipliziere $y$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.6.3.10.2.1.1

Bewege $y^{3}$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 (y^{3} y) (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2.1.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.10.2.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 (y^{3} y^{1}) (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{3 + 1} (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.3.10.2.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 (y \cdot y) (- x^{4}) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.6.3.10.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{(2 y x + 2 \cdot - 4 y^{4} x^{4} + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} + 2 \cdot - 1 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.6.3.10.3.5.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 (y \cdot y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 y^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} - 2 y^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{2 y x \cdot 2 - 8 y^{4} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.6.3.10.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y' = \frac{4 y x - 8 y^{4} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y' = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y' = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 5.3.6.3.10.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y' = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 4 y^{2} - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 4 y^{2} - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$