Analysis Beispiele

$5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) = 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sin (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \cos (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (y)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x) \cos (y)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x))$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x)$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$ um.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3 \cos (x) \cos (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 5 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $5 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $- 4 y' \sin (y)$ heraus.

$y' \sin (y) \cdot - 4 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $3 y' \sin (x) \sin (y)$ heraus.

$y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y' \sin (y)$ aus $y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x))$ heraus.

$y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ durch $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ durch $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 + 3 \sin (x)$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.2

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.3

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.5

Multipliziere $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Schritt 5.4.3.1.5.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.5.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)}$ und $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y)) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cdot \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.1.7

Separiere Brüche.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Schritt 5.4.3.1.8

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.4.3.1.9

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.4.3.1.10

Vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1.10.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.4.3.1.10.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Schritt 5.4.3.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Schritt 5.4.3.1.12

Multipliziere $- \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Schritt 5.4.3.1.12.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y)$

Schritt 5.4.3.1.12.2

Kombiniere $\csc (y)$ und $\frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.1.13

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $- 5 \csc (y) \cos (x)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.2.2.3

Faktorisiere $\cos (x) \csc (y)$ aus $\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.2.3

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) + 3 \sin (x)}$

Schritt 5.4.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \sin (x)$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) - (- 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (- 3 \sin (x))$ heraus.

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4 - 3 \sin (x))}$

Schritt 5.4.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$