Analysis Beispiele

$4 y = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 y) = \frac{d}{d x} (20 x^{3} - 3 x^{5})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} - 3 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y' = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 y' = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- 15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- 15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $60 x^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{4 (15 x^{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{4 (15 x^{2})}{4 (1)}$

Schritt 5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{4 (15 x^{2})}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{15 x^{2}}{1}$

Schritt 5.3.1.2.2.4

Dividiere $15 x^{2}$ durch $1$ .

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + 15 x^{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15 x^{4}}{4} + 15 x^{2}$