Analysis Beispiele

$5 x y^{2} + \sin (y) = \sin (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x y^{2} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x^{2} + 1))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x y^{2} + \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \cos (y) y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (2 x y y') + 5 y^{2} + \cos (y) y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x y y' + 5 y^{2} + \cos (y) y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$5 y^{2} + 10 x y y' + \cos (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\cos (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\cos (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\cos (x^{2} + 1) (2 x)$

Schritt 3.2.4.2

Stelle die Faktoren von $\cos (x^{2} + 1) (2 x)$ um.

$2 x \cos (x^{2} + 1)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 y^{2} + 10 x y y' + \cos (y) y' = 2 x \cos (x^{2} + 1)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $5 y^{2} + 10 x y y' + \cos (y) y'$ um.

$5 y^{2} + 10 x y y' + y' \cos (y) = 2 x \cos (x^{2} + 1)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x y y' + y' \cos (y) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $10 x y y' + y' \cos (y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $10 x y y'$ heraus.

$y' (10 x y) + y' (\cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (y)$ heraus.

$y' (10 x y) + y' (\cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 x y) + y' (\cos (y))$ heraus.

$y' (10 x y + \cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (10 x y + \cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$ durch $10 x y + \cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (10 x y + \cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$ durch $10 x y + \cos (y)$ .

$\frac{y' (10 x y + \cos (y))}{10 x y + \cos (y)} = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} + \frac{- 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 x y + \cos (y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (10 x y + \cos (y))}{10 x y + \cos (y)} = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} + \frac{- 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} + \frac{- 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} - \frac{5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$