Analysis Beispiele

$5 x^{3} = - 3 x y + 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 x y + 2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x y$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 (x y' + y) + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (x y') - 3 y + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 3 x y' - 3 y$ und $0$ .

$- 3 x y' - 3 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$15 x^{2} = - 3 x y' - 3 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$ um.

$- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$

Schritt 5.2

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ durch $- 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ durch $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $- 3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{5 x^{2}}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (5 x)}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (5 x)$ als $- (5 x)$ um.

$y' = - (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $- 3$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{- 3 x}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{3 (- x)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{3 (- x)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - 5 x + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - 5 x - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 5 x - \frac{y}{x}$