Analysis Beispiele

$4 x^{2} = 2 y^{3} + 4 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (2 y^{3} + 4 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{3} + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y^{2} y' + 4 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 x = 6 y^{2} y' + 4 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $6 y^{2} y' + 4 y' = 8 x$ um.

$6 y^{2} y' + 4 y' = 8 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $6 y^{2} y' + 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $6 y^{2} y'$ heraus.

$2 y' (3 y^{2}) + 4 y' = 8 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $4 y'$ heraus.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 2 = 8 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 2$ heraus.

$2 y' (3 y^{2} + 2) = 8 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (3 y^{2} + 2) = 8 x$ durch $2 (3 y^{2} + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (3 y^{2} + 2) = 8 x$ durch $2 (3 y^{2} + 2)$ .

$\frac{2 y' (3 y^{2} + 2)}{2 (3 y^{2} + 2)} = \frac{8 x}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (3 y^{2} + 2)}{2 (3 y^{2} + 2)} = \frac{8 x}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2)}{3 y^{2} + 2} = \frac{8 x}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} + 2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2)}{3 y^{2} + 2} = \frac{8 x}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{8 x}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 (3 y^{2} + 2)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 x}{3 y^{2} + 2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y^{2} + 2}$