Analysis Beispiele

$2 \cos (7 x) \sin (6 y) = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 \cos (7 x) \sin (6 y)) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (7 x) \sin (6 y)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (7 x) \sin (6 y)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (7 x) \sin (6 y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (7 x)$ und $g (x) = \sin (6 y)$ .

$2 (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 y)] + \sin (6 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 6 y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 y$ .

$2 (\cos (7 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 y]) + \sin (6 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (7 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 y]) + \sin (6 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 y$ .

$2 (\cos (7 x) (\cos (6 y) \frac{d}{d x} [6 y]) + \sin (6 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Schritt 2.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 \frac{d}{d x} [y]) + \sin (6 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]))$

Schritt 2.6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]))$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]))$

Schritt 2.7

Differenziere.

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Schritt 2.7.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (- 7 \sin (7 x) \cdot 1))$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y') + \sin (6 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\cos (7 x) \cos (6 y) (6 y')) + 2 (\sin (6 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Schritt 2.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.8.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 (\cos (7 x) \cos (6 y) (y')) + 2 (\sin (6 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$12 \cos (7 x) \cos (6 y) y' - 14 \sin (6 y) \sin (7 x)$

Schritt 2.8.3

Stelle die Terme um.

$12 \cos (6 y) \cos (7 x) y' - 14 \sin (6 y) \sin (7 x)$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 \cos (6 y) \cos (7 x) y' - 14 \sin (6 y) \sin (7 x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $12 \cos (6 y) \cos (7 x) y' - 14 \sin (6 y) \sin (7 x)$ um.

$12 y' \cos (6 y) \cos (7 x) - 14 \sin (6 y) \sin (7 x) = 0$

Schritt 5.2

Addiere $14 \sin (6 y) \sin (7 x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 y' \cos (6 y) \cos (7 x) = 14 \sin (6 y) \sin (7 x)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $12 y' \cos (6 y) \cos (7 x) = 14 \sin (6 y) \sin (7 x)$ durch $12 \cos (6 y) \cos (7 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y' \cos (6 y) \cos (7 x) = 14 \sin (6 y) \sin (7 x)$ durch $12 \cos (6 y) \cos (7 x)$ .

$\frac{12 y' \cos (6 y) \cos (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)} = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y' \cos (6 y) \cos (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)} = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cos (6 y) \cos (7 x)}{\cos (6 y) \cos (7 x)} = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (6 y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (6 y) \cos (7 x)}{\cos (6 y) \cos (7 x)} = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cos (7 x)}{\cos (7 x)} = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (7 x)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (7 x)}{\cos (7 x)} = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{14 \sin (6 y) \sin (7 x)}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $12$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 \sin (6 y) \sin (7 x)$ heraus.

$y' = \frac{2 (7 \sin (6 y) \sin (7 x))}{12 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12 \cos (6 y) \cos (7 x)$ heraus.

$y' = \frac{2 (7 \sin (6 y) \sin (7 x))}{2 (6 \cos (6 y) \cos (7 x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (7 \sin (6 y) \sin (7 x))}{2 (6 \cos (6 y) \cos (7 x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{7 \sin (6 y) \sin (7 x)}{6 \cos (6 y) \cos (7 x)}$

Schritt 5.3.3.2

Separiere Brüche.

$y' = \frac{7 \sin (7 x)}{6 \cos (7 x)} \cdot \frac{\sin (6 y)}{\cos (6 y)}$

Schritt 5.3.3.3

Wandle von $\frac{\sin (6 y)}{\cos (6 y)}$ nach $\tan (6 y)$ um.

$y' = \frac{7 \sin (7 x)}{6 \cos (7 x)} \tan (6 y)$

Schritt 5.3.3.4

Separiere Brüche.

$y' = \frac{7}{6} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \tan (6 y)$

Schritt 5.3.3.5

Wandle von $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ nach $\tan (7 x)$ um.

$y' = \frac{7}{6} \tan (7 x) \tan (6 y)$

Schritt 5.3.3.6

Kombiniere $\frac{7}{6}$ und $\tan (7 x)$ .

$y' = \frac{7 \tan (7 x)}{6} \tan (6 y)$

Schritt 5.3.3.7

Kombiniere $\frac{7 \tan (7 x)}{6}$ und $\tan (6 y)$ .

$y' = \frac{7 \tan (7 x) \tan (6 y)}{6}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 \tan (7 x) \tan (6 y)}{6}$