Analysis Beispiele

$3 (x^{2} + y^{2}) = 100 (x^{2} - y^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (x^{2} + y^{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x) + 3 (2 y y')$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 3 (2 y y')$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 6 y y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$6 y y' + 6 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 (x^{2} - y^{2})$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$100 (2 x - 2 y y')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$- 200 y y' + 200 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 y y' + 6 x = - 200 y y' + 200 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $200 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y y' + 6 x + 200 y y' = 200 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $6 y y'$ und $200 y y'$ .

$206 y y' + 6 x = 200 x$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$206 y y' = 200 x - 6 x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $200 x$ .

$206 y y' = 194 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $206 y y' = 194 x$ durch $206 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $206 y y' = 194 x$ durch $206 y$ .

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $206$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{194 x}{206 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $194$ und $206$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $194 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (97 x)}{206 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $206 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{97 x}{103 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{97 x}{103 y}$