Analysis Beispiele

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

Schritt 2

Da $a$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $y^{0.6}$ und $\frac{5}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

Schritt 3.2.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y^{0.6}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ und $z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

Schritt 3.2.3

Da $\frac{5}{x^{0.3}}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ nach $z$ gleich $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = y^{0.6}$ und $g (z) = z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $y^{0.6}$ mit $1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = z^{0.6}$ und $g (z) = y$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 0.6$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Schritt 3.6

Bringe $0.6$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{d}{d z} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

Schritt 3.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Schritt 3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.9.2.1

Kombiniere $\frac{5}{x^{0.3}}$ und $y^{0.6}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Schritt 3.9.2.2

Kombiniere $0.6$ und $\frac{1}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

Schritt 3.9.2.3

Kombiniere $z$ und $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

Schritt 3.9.2.4

Bringe $0.6$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

Schritt 3.9.2.5

Kombiniere $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ und $y'$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

Schritt 3.9.2.6

Mutltipliziere $\frac{5}{x^{0.3}}$ mit $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Schritt 3.9.2.7

Mutltipliziere $0.6$ mit $5$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Schritt 3.9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ um.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{0.3} y^{0.4}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{0.3}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ in den Zähler.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Faktorisiere $x^{0.3}$ aus $x^{0.3} y^{0.4}$ heraus.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Schritt 5.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Multipliziere $y^{0.6}$ mit $y^{0.4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Bewege $y^{0.4}$ .

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

Schritt 5.4.2.1.2.3

Addiere $0.4$ und $0.6$ .

$3 z y' = - 5 y^{1}$

Schritt 5.4.2.1.3

Vereinfache $- 5 y^{1}$ .

$3 z y' = - 5 y$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 z y' = - 5 y$ durch $3 z$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z y' = - 5 y$ durch $3 z$ .

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $3$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Faktorisiere $1$ aus $- 5 y$ heraus.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $1$ aus $3 z$ heraus.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Schritt 5.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d z}$ .

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$