Analysis Beispiele

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

Schritt 2

Die Ableitung von $x$ nach $t$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2} + 1$ und $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Schritt 3.10.2.2

Subtrahiere $t^{2}$ von $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

Schritt 3.10.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$