Analysis Beispiele

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ gleich ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ ist mit ${\displaystyle f\left(x\right)=e^{x^2}}$ und ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Schreibe ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ als ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ um.

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ist ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, mit ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ und ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ gleich ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ ist mit ${\displaystyle n=2}$.

Da ${\displaystyle -3}$ konstant bezüglich ${\displaystyle x}$ ist, ist die Ableitung von ${\displaystyle -3{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ nach ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ist ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, mit ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ und ${\displaystyle g\left(x\right)=y^2+2}$.

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${\displaystyle y^2+2}$ nach ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y^2\right]+\frac{d}{dx}\left[2\right]}$.

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ist ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, mit ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ und ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Schreibe ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ als ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ um.

Da ${\displaystyle 2}$ konstant bezüglich ${\displaystyle x}$ ist, ist die Ableitung von ${\displaystyle 2}$ bezüglich ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle 0}$.

Um ${\displaystyle -1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kombiniere ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Vereinfache den Zähler.

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Addiere ${\displaystyle 2yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ und ${\displaystyle 0}$.

Kombiniere ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ und ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Kombiniere ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle \frac{{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Kombiniere ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle \frac{2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Kombiniere ${\displaystyle \frac{y\left(2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}}$ und ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Bringe ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Bringe ${\displaystyle 2}$ auf die linke Seite von ${\displaystyle y}$.

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Forme den Ausdruck um.

Kombiniere ${\displaystyle -3}$ und ${\displaystyle \frac{yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Stelle die Terme um.

Stelle die Faktoren in ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2e^{x^2}xy-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$ um.

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

Multipliziere jeden Term in ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2xy{e}^{x^2}-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}=2x}$ mit ${\displaystyle {(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Vereinfache die linke Seite.

Subtrahiere ${\displaystyle 2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

Faktorisiere ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ aus ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ heraus.

Teile jeden Ausdruck in ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y)=2x{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ durch ${\displaystyle e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y}$ und vereinfache.