Analysis Beispiele

$u = \frac{\sqrt{x}}{1 - x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x})$

Schritt 3

Die Ableitung von $u$ nach $x$ ist $u'$ .

$u'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.7.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

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Schritt 4.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.15.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.15.2.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.15.2.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.2

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.5

Addiere $- x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Schritt 4.15.2.5.1

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.2.5.2

Addiere $- x^{\frac{1}{2}}$ und $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.15.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.2

Kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.15.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.15.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1 + 2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.6

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.15.3.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.6.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.6.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1 + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.3.7

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 4.15.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$u' = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $u'$ durch $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$