Analysis Beispiele

$s = \sqrt{3 + 6 t}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 + 6 t}$ als ${(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$s = {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 3 + 6 t$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + 6 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + 6 t$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(3 + 6 t)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 + 6 t]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 6 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Schritt 4.8

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [6 t])$

Schritt 4.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t]$

Schritt 4.10

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.11.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.11.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 4.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.14.1

Mutltipliziere $\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{3}{{(3 + 6 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = \frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{3}{{(6 t + 3)}^{\frac{1}{2}}}$