Analysis Beispiele

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 u' - 9}$ als ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $u$ nach $u'$ ist $u'$ .

$u'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ ist $f' (g (u')) g' (u')$ , mit $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ und $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 u' - 9$ nach $u'$ $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Schritt 4.8

Da $2$ konstant bezüglich $u'$ ist, ist die Ableitung von $2 u'$ nach $u'$ gleich $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ gleich $n {u'}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Schritt 4.11

Da $- 9$ konstant bezüglich $u'$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $u'$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Schritt 4.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4.12.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 6

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$u' \approx 4.52650004$

Schritt 7

Ersetze $u'$ durch $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$