Analysis Beispiele

$r = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x - 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x - 8)$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $x$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{7}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{6} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \frac{7}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} + \frac{7}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{6}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot 7}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$x^{3} + \frac{21}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\frac{21}{6}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{21 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $6$ .

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$x^{3} + \frac{3 (7 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{3} + \frac{3 (7 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + \frac{3 (7 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.6.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 + 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$ und $0$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$