Analysis Beispiele

$S + (x) a x = f (x) + c$

Schritt 1

Mutltipliziere $x$ mit $a$ .

$S + x a x = f (x) + c$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (S + x a x) = \frac{d}{d x} (f (x) + c)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $S + x a x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [S] + \frac{d}{d x} [x a x]$ .

$\frac{d}{d x} [S] + \frac{d}{d x} [x a x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [S]$ als $S'$ um.

$S' + \frac{d}{d x} [x a x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x a x]$ .

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Schritt 3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$S' + \frac{d}{d x} [a (x^{1} x)]$

Schritt 3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$S' + \frac{d}{d x} [a (x^{1} x^{1})]$

Schritt 3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$S' + \frac{d}{d x} [a x^{1 + 1}]$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$S' + \frac{d}{d x} [a x^{2}]$

Schritt 3.3.5

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$S' + a \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$S' + a (2 x)$

Schritt 3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$S' + 2 a x$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$2 a x + S'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x) + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [f (x)] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x)] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.2

Differentiate using the function rule which states that the derivative of $f (x)$ is $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.3

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d f}{d x} + 0$

Schritt 4.4

Addiere $\frac{d f}{d x}$ und $0$ .

$\frac{d f}{d x}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 a x + S' = \frac{d f}{d x}$

Schritt 6

Löse nach $S'$ auf.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 a x + S' = \frac{d f}{d x}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 a x + S' = \frac{f}{x}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2 a x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$S' = \frac{f}{x} - 2 a x$

Schritt 7

Ersetze $S'$ durch $\frac{d S}{d x}$ .

$\frac{d S}{d x} = \frac{f}{x} - 2 a x$