Analysis Beispiele

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $t^{3}$ .

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

Schritt 3

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $t^{2}$ durch $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7 t^{2}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.4

Berechne $\frac{d}{d t} [49 t]$ .

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Schritt 4.4.1

Da $49$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $49 t$ nach $t$ gleich $49 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $49$ mit $1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $t^{2} - 14 t + 49$ und $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

Schritt 6

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$