Analysis Beispiele

$s = \frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 1 + \sec (t)$ und $g (t) = 1 - \sec (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 + \sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\sec (t) \tan (t)) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sec (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [- \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \sec (t)$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (- \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + 1 (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $1 + \sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) (\sec (t) \tan (t))}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \sec (t) - \sec (t) \sec (t)) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 \sec (t) + \sec (t) \sec (t)) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.5.1.1

Addiere $- \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ und $\sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + 0}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.5.1.2

Addiere $1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)$ und $0$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.5.2.1

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.5.2.2

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6.5.3

Addiere $\sec (t) \tan (t)$ und $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$