Analysis Beispiele

$y = 14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))] + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]$ .

$14 (x (\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \ln (14 x)$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$14 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 14 x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{14 x}$ und $\cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.2

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.6.3.1

Kombiniere $14$ und $\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ mit $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (14 x)$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 14 x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\ln (u_{4})] \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\ln (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\frac{1}{u_{4}}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{4}} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9

Differenziere.

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Schritt 3.9.1

Kombiniere $\frac{1}{14 x}$ und $\sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.2

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.9.3.1

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - 14 \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3.2

Kombiniere $- 14$ und $\frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- 14 \sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $14$ .

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Schritt 3.9.3.3.1

Faktorisiere $14$ aus $- 14 \sin (\ln (14 x))$ heraus.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.3.3.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 (x)} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- \sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \cdot 1) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \cdot 1)$

Schritt 3.9.7

Mutltipliziere $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ mit $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x}) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.10.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.2.2

Dividiere $\cos (\ln (14 x))$ durch $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.10.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.4.2

Dividiere $\sin (\ln (14 x))$ durch $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \sin (\ln (14 x))) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) - 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.6

Addiere $- 14 \sin (\ln (14 x))$ und $14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 0 + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.7

Addiere $14 \cos (\ln (14 x))$ und $0$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 3.10.3.8

Addiere $14 \cos (\ln (14 x))$ und $14 \cos (\ln (14 x))$ .

$28 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 28 \cos (\ln (14 x))$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 28 \cos (\ln (14 x))$