Analysis Beispiele

$(L + m) (V + n) = k$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d m} ((L + m) (V + n)) = \frac{d}{d m} (k)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $V + n$ konstant bezüglich $m$ ist, ist die Ableitung von $(L + m) (V + n)$ nach $m$ gleich $(V + n) \frac{d}{d m} [L + m]$ .

$(V + n) \frac{d}{d m} [L + m]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $L + m$ nach $m$ $\frac{d}{d m} [L] + \frac{d}{d m} [m]$ .

$(V + n) (\frac{d}{d m} [L] + \frac{d}{d m} [m])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d m} [L]$ als $L'$ um.

$(V + n) (L' + \frac{d}{d m} [m])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ gleich $n m^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(V + n) (L' + 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(V + n) L' + (V + n) \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V L' + n L' + (V + n) \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V L' + n L' + V \cdot 1 + n \cdot 1$

Schritt 2.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$V L' + n L' + V + n \cdot 1$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$V L' + n L' + V + n$

Schritt 2.5.5

Stelle die Terme um.

$V + V L' + n L' + n$

Schritt 3

Da $k$ konstant bezüglich $m$ ist, ist die Ableitung von $k$ bezüglich $m$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$V + V L' + n L' + n = 0$

Schritt 5

Löse nach $L'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $L'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V L' + n L' + n = - V$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V L' + n L' = - V - n$

Schritt 5.2

Faktorisiere $L'$ aus $V L' + n L'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $L'$ aus $V L'$ heraus.

$L' V + n L' = - V - n$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $L'$ aus $n L'$ heraus.

$L' V + L' n = - V - n$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $L'$ aus $L' V + L' n$ heraus.

$L' (V + n) = - V - n$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $L' (V + n) = - V - n$ durch $V + n$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $L' (V + n) = - V - n$ durch $V + n$ .

$\frac{L' (V + n)}{V + n} = \frac{- V}{V + n} + \frac{- n}{V + n}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + n$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{L' (V + n)}{V + n} = \frac{- V}{V + n} + \frac{- n}{V + n}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $L'$ durch $1$ .

$L' = \frac{- V}{V + n} + \frac{- n}{V + n}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$L' = \frac{- V - n}{V + n}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- V - n$ und $V + n$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- V$ heraus.

$L' = \frac{- (V) - n}{V + n}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- n$ heraus.

$L' = \frac{- (V) - (n)}{V + n}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (V) - (n)$ heraus.

$L' = \frac{- (V + n)}{V + n}$

Schritt 5.3.3.2.4

Schreibe $- (V + n)$ als $- 1 (V + n)$ um.

$L' = \frac{- 1 (V + n)}{V + n}$

Schritt 5.3.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$L' = \frac{- 1 (V + n)}{V + n}$

Schritt 5.3.3.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$L' = - 1$

Schritt 6

Ersetze $L'$ durch $\frac{d L}{d m}$ .

$\frac{d L}{d m} = - 1$