Analysis Beispiele

$K = \frac{1}{L^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d L} (K) = \frac{d}{d L} (\frac{1}{L^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $K$ nach $L$ ist $K'$ .

$K'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\frac{1}{L^{\frac{2}{3}}}$ als ${(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d L} [{(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d L} [L^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d L} [L^{n}]$ gleich $n L^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} - 1}$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 5}{3}}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{L^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{L^{\frac{5}{3}}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{L^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Schritt 3.8.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $L^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$K' = - \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5

Ersetze $K'$ durch $\frac{d K}{d L}$ .

$\frac{d K}{d L} = - \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$