Analysis Beispiele

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{r}$ als $r^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

Schritt 3

Die Ableitung von $q$ nach $r$ ist $q'$ .

$q'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{r}$ nach $r$ gleich $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{r}$ als $r^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

Schritt 4.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

Schritt 4.4.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $q'$ durch $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$