Analysis Beispiele

$p = {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} ({(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $q$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ gleich $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ ist mit $f (q) = {(5 q^{2} - 4)}^{5}$ und $g (q) = {(2 q + 3)}^{10}$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} \frac{d}{d q} [{(2 q + 3)}^{10}] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = q^{10}$ und $g (q) = 2 q + 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von ${(5 q^{2} - 4)}^{5}$ .

$10 \cdot {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 q + 3$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $2 q$ nach $q$ gleich $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + 0) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \cdot 2 + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = q^{5}$ und $g (q) = 5 q^{2} - 4$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(2 q + 3)}^{10}$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 \cdot {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4]$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 q^{2} - 4$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Schritt 3.5.3

Da $5$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $5 q^{2}$ nach $q$ gleich $5 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 \frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Schritt 3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 (2 q) + \frac{d}{d q} [- 4])$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + \frac{d}{d q} [- 4])$

Schritt 3.5.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + 0)$

Schritt 3.5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.7.1

Addiere $10 q$ und $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q)$

Schritt 3.5.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ aus $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ aus $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9}$ heraus.

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ aus $50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ heraus.

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ aus $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$ heraus.

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Schritt 3.6.2

Stelle die Faktoren von $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$ um.

$10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$