Analysis Beispiele

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (r) + \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = r$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [r]$ als $r'$ um.

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = r x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = r$ und $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [r]$ als $r'$ um.

$e^{r x} (r + x r')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5

Löse nach $r'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.1.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.1.1.2.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.1.1.2.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.1.1.3

Stelle die Faktoren in $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ um.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ um.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die $r'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $x r' e^{r x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.3.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.3.3.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Schritt 5.4

Addiere $\csc^{2} (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $r'$ aus $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $r'$ aus $- r' \sin (r)$ heraus.

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $r'$ aus $- x r' e^{r x}$ heraus.

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $r'$ aus $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ heraus.

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \sin (r)$ als $- \sin (r)$ um.

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ durch $- \sin (r) - x e^{r x}$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ durch $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $r'$ durch $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.3.1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.3.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Schritt 5.7.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Schritt 5.7.3.2

Um $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Schritt 5.7.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Schritt 5.7.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ um.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Schritt 5.7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Schritt 5.7.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (r)$ heraus.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Schritt 5.7.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x e^{r x}$ heraus.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Schritt 5.7.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ heraus.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Schritt 5.7.3.8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.7.3.8.1

Schreibe $- (\sin (r) + x e^{r x})$ als $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ um.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Schritt 5.7.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Schritt 6

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$