Analysis Beispiele

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $r$ nach $t$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ und $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.11.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.11.2

Bringe $t^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.12.1

Multipliziere $t^{\frac{1}{3}}$ mit $t^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.1.1

Bewege $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 4.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 4.12.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Schritt 4.12.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.12.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

Schritt 4.12.2

Vereinfache $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = \frac{7}{3 t}$

Schritt 6

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$