Analysis Beispiele

$r = (2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Entferne die Klammern.

$r = 2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $r$ nach $x$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = \tan (2 x - 1)$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (2 x - 1)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (2 x - 1)$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.10

Faktorisiere $2$ aus $6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.11.4

Dividiere $3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 4.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 4.12.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 4.12.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 4.13

Differenziere.

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Schritt 4.13.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.13.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.13.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.13.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + 0)$

Schritt 4.13.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.13.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) \cdot 2$

Schritt 4.13.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

Schritt 6

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$