Analysis Beispiele

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 5}$ als ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$q = \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $q$ nach $t$ ist $q'$ .

$q'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t + 5$ .

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Schritt 4.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.11.3

Bringe ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Schritt 4.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

Schritt 4.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Schritt 4.14

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

Schritt 4.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

Schritt 4.15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.16

Um ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.17

Kombiniere ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.19

Multipliziere ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.1

Bewege ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.20

Vereinfache ${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.21

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Schritt 4.22

Schreibe $\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ als ein Produkt um.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{t + 5}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

Schritt 4.24

Potenziere $t + 5$ mit $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.26

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.26.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.26.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.27

Kombiniere $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ und $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 5) - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28

Vereinfache.

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Schritt 4.28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 5 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.28.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 10 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2.2

Subtrahiere $t$ von $2 t$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2.4

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.2.5

Stelle die Faktoren in $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ um.

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.3

Faktorisiere $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

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Schritt 4.28.3.1

Faktorisiere $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.3.2

Faktorisiere $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.28.3.3

Faktorisiere $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ heraus.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$q' = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $q'$ durch $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$