Analysis Beispiele

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $M$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ gleich $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ ist mit $f (M) = M^{2}$ und $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ nach $M$ $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{c}{2}$ konstant bezüglich $M$ ist, ist die Ableitung von $\frac{c}{2}$ bezüglich $M$ gleich $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.4

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $M$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{M}{3}$ nach $M$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $M^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ gleich $n M^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ gleich $n M^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

Schritt 3.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

Schritt 3.3

Vereinige $- \frac{M^{2}}{3}$ und $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 3.3.1

Stelle $- \frac{M^{2}}{3}$ und $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ um.

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

Schritt 3.3.2

Um $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Schritt 3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{M}{3}$ in den Zähler.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 M$ heraus.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.3

Potenziere $M$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.4

Potenziere $M$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 M$ heraus.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $M^{2}$ von $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $3 M$ aus $- 3 M^{2} + 3 M c$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $3 M$ aus $- 3 M^{2}$ heraus.

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $3 M$ aus $3 M c$ heraus.

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $3 M$ aus $3 M (- M) + 3 M (c)$ heraus.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Schritt 3.5.4.2

Dividiere $M (- M + c)$ durch $1$ .

$M (- M + c)$

Schritt 3.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$M (- M) + M c$

Schritt 3.5.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- M \cdot M + M c$

Schritt 3.5.7

Multipliziere $M$ mit $M$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.7.1

Bewege $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

Schritt 3.5.7.2

Mutltipliziere $M$ mit $M$ .

$- M^{2} + M c$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = - M^{2} + M c$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$