Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{x^{6}}{6}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $x^{6}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.2.7.2.5

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{1}{36}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{6}}{36}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{36}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\frac{- 6}{36}$ und $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $36$ .

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

Schritt 3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{\ln (x)}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $\frac{6 \ln (x)}{6}$ und $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.4.2

Dividiere $\ln (x) x^{5}$ durch $1$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.5

Um $\frac{1}{6} x^{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.6

Kombiniere $\frac{1}{6} x^{5}$ und $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.8

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.9

Kombiniere $\frac{x^{5}}{6}$ und $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.10

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.4.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.11.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

Schritt 3.4.2.12

Subtrahiere $x^{5}$ von $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

Schritt 3.4.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 3.4.2.13.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

Schritt 3.4.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.13.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

Schritt 3.4.2.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\ln (x) x^{5} + 0$

Schritt 3.4.2.14

Addiere $\ln (x) x^{5}$ und $0$ .

$\ln (x) x^{5}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren von $\ln (x) x^{5}$ um.

$x^{5} \ln (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{5} \ln (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$