Analysis Beispiele

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{5} - 16 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{5}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.6

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 4.2.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.2.10.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.10.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.2.10.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 4.2.10.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ heraus.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ heraus.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $x$ aus $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $50 x^{4}$ heraus.

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 32 x$ heraus.

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ heraus.

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Schritt 4.6.4

Faktorisiere $x$ aus $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ heraus.

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Schritt 4.6.5

Faktorisiere $x$ aus $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ heraus.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Schritt 4.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Schritt 4.8.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Schritt 4.8.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 16$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

Schritt 4.8.2.2

Subtrahiere $30 x^{3}$ von $50 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

Schritt 4.8.2.3

Addiere $- 32$ und $48$ .

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

Schritt 4.8.3

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{3} + 16$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.3.1

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

Schritt 4.8.3.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

Schritt 4.8.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ heraus.

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$