Analysis Beispiele

$x - \tan (x y) = - 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x - \tan (x y)) = \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \tan (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$1 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - (\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1))$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 - \sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \sec^{2} (x y) (x y') - \sec^{2} (x y) y$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$- x \sec^{2} (x y) y' - y \sec^{2} (x y) + 1$

Schritt 3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sec^{2} (x y) y' - y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sec^{2} (x y) y' - y \sec^{2} (x y) + 1$ um.

$- x y' \sec^{2} (x y) - y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $y \sec^{2} (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sec^{2} (x y) + 1 = y \sec^{2} (x y)$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) - 1$ durch $- x \sec^{2} (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) - 1$ durch $- x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x y)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x y)$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$