Analysis Beispiele

$y = {(a x + b)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} ({(a x + b)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $b$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(a x + b)}^{2}$ als $(a x + b) (a x + b)$ um.

$\frac{d}{d b} [(a x + b) (a x + b)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(a x + b) (a x + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d b} [a x (a x + b) + b (a x + b)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x + b)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{d}{d b} [a \cdot a x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} (x \cdot x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b a x + b^{2}]$

Schritt 3.3.2

Stelle $b$ und $a$ um.

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a b x + a b x + b^{2}]$

Schritt 3.3.3

Addiere $a b x$ und $a b x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}$ nach $b$ $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Schritt 3.5

Da $a^{2} x^{2}$ konstant bezüglich $b$ ist, ist die Ableitung von $a^{2} x^{2}$ bezüglich $b$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Schritt 3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d b} [2 a b x]$ .

$\frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Schritt 3.7

Da $2 a x$ konstant bezüglich $b$ ist, ist die Ableitung von $2 a b x$ nach $b$ gleich $2 a x \frac{d}{d b} [b]$ .

$2 a x \frac{d}{d b} [b] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ gleich $n b^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 a x \cdot 1 + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 a x + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ gleich $n b^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 a x + 2 b$

Schritt 3.11

Stelle die Terme um.

$2 b + 2 a x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 b + 2 a x$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = 2 b + 2 a x$